Coloquio Víctor Neumann-Lara de teoría de las Gráficas, Combinatoria y sus Aplicaciones...

Bolitas y Palitos I

Cuando cuentes cuentos…)

Guillermo Olicón Méndez

Vicepresidente SELIDER Ciudad de México

El pasado 28 de febrero se dio por inaugurado el XXVI Coloquio Víctor Neumann-Lara de teoría de las Gráficas, Combinatoria y sus Aplicaciones. Este evento duró cinco días y se llevó a cabo en la Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo, en la “Bella Airosa”: Pachuca.

Este evento es de suma importancia para la comunidad matemática del país, ya que en ella se dan a conocer los resultados de investigadores nacionales residentes, la mayoría, en el país. Año con año, en el Coloquio Víctor Neumann-Lara, matemáticos y computólogos (entre otros) tienen la oportunidad de presentar, en no más de media hora, teoría abstracta y aplicaciones de las llamadas “Matemáticas Discretas”.

¿A qué se refiere el término “Matemáticas Discretas”? Claramente, no significa que sea el área matemática más silenciosa, ¡todo lo contrario! Por Matemáticas Discretas entendemos como el estudio de estructuras que se pueden enumerar. Pensemos por un momento en todas las palabras que se pueden formar con 5 letras, esta última es una estructura (las palabras) y que podemos enumerar (de hecho se tienen palabras diferentes).

 Otro ejemplo, y que es gran parte de las investigaciones que se presentaron en el coloquio, tiene que ver con la Geometría. Muchos problemas que mantienen vidas de matemáticos entretenidas tiene que ver con los polígonos y poliedros que nos enseñan en la Secundaria. Y sí que se pueden enumerar, pues todo polígono o poliedro se caracteriza por tener un número finito de vértices, aristas y de caras. Más aún, para todos ellos se cumple que la suma del número de vértices, más el de caras, menos el de aristas ¡es siempre 2!

Muchas de estas estructuras, por ser numerables, sugieren la pregunta ¿De cuántas formas…? Por ejemplo, consideremos las estructuras de placas del DF, éstas se componen de 3 dígitos y de 3 letras. La pregunta que nos mueve a los matemáticos sería “¿De cuántas formas podemos armar una placa en el DF?”. La respuesta a la pregunta es 19,683,000 placas distintas. De esta forma, llamamos Combinatoria a todo lo que se refiera a ver la cantidad de combinaciones de “algo”.

Una de las áreas combinatorias que más auge han tenido en los últimos cincuenta años es el de la Teoría de Gráficos (o de Grafos en algunas regiones de habla hispana). ¿Y a qué se debe esto? Creo que se debe a su facilidad de entenderlo. Probemos contigo, querido lector: Una gráfica es un conjunto de “bolitas” que están conectadas por “palitos”… ¡y nada más!

Así de sencillo es, como fuerte es su alcance en la vida cotidiana. La Teoría de Gráficas podría decirse que nació en la vida folclórica del pueblo de Königsberg en Prusia, conocida actualmente como Kaliningrado. En el río Pregolya existían siete puentes que conectaban cuatro regiones de tierra como se muestra en la figura de abajo. Entre la gente surgió el problema de encontrar un recorrido que iniciara en cualquier región de tierra, de tal suerte que recorriera los siete puentes y que, al final, terminara en el punto inicial del recorrido.

Leonard Euler, fue el primer matemático que resolvió el problema. Éste se puede modelar al poner como “bolitas” a cada región de tierra, y dibujamos una línea entre dos bolitas si existe un puente entre sus respectivas regiones de tierra. De esta forma el problema se puede ver de la siguiente forma:

La solución del problema es negativa, es decir, no existe dicho “paseo”. Pero Euler no se limitó a dejar el problema allí y se aventuró a plantearlo de forma arbitraria. De hecho, si tenemos cualquier arreglo de regiones de tierra con sus puentes se puede demostrar que la única forma de obtener un paseo del estilo que buscaba la gente en Königsberg es si a cada región de tierra llegan un número par de puentes. En el caso anterior a las regiones A, B y D les llegan 3 puentes, y a la región C le llegan 5; en ambos casos son números impares.

Tú mismo puedes bosquejar la demostración de la afirmación anterior. Piensa en lo siguiente: si partes de cualquier punto, si deseas terminar en el mismo lugar que empezaste, cada vez que salgas de dicha región tienes que volver eventualmente. Por lo tanto tendrás que contar dos puentes cada que dejes una región en tu recorrido, haciendo que el número de puentes por región de tierra sea par.

Muchos problemas se pueden modelar con la Teoría de Gráficas. Uno de los más importantes del pasado siglo es el famoso “Teorema de los 4 Colores”, el cual establece que cualquier mapa se puede colorear con 4 colores, de tal forma que no haya países adyacentes del mismo color.

Podríamos dar muchísimos ejemplos de aplicaciones de la Teoría de Gráficas, y todas con implicaciones relevantes, por ejemplo en el diseño de Software. En particular, en esta edición del coloquio Víctor Neumann-Lara se presentaron algunas de ellas enfocadas hacia la resolución de cuadros mágicos y sudokus, la optimización de rutas vehiculares y sobre vigilancia en galerías de arte.

Lo anterior nos muestra un poco de la creatividad del matemático hacia su entorno. Mentira es que todos los que se dedican a esta disciplina sean nerds distraídos, sabelotodos y de carácter cerrado. ¡Todo lo contrario! Los matemáticos suelen ser personas que gustan de conocer de todo, desde otras ciencias, como literatura, lugares, comida y amigos. Por eso ser tan distraídos que podrían confundir a una prima con una piedra).

Por eso, los congresos suelen ser atractivos para la comunidad matemática pues te permiten conocer lugares como Hidalgo, en donde puede uno descubrir la región de los “prismas basálticos” o las minas de Real del Monte.

Eso sí, por las noches no faltaba nunca la fiesta organizada tradicionalmente por “El Caracol”. Este es el comité encargado de designar los lugares a los cuales irán por la noche a divertirse y que año con año se designa a los expositores más jóvenes.







Pero para mí, lo más importante fueron las relaciones que cada quien entabla con los asistentes. De un momento a otro, casi de forma imperceptible, digamos de forma discreta, uno puede romper las barreras que se generan en el aula. Por la mañana puedes debatir con un profesor o externarle tus dudas respecto a las exposiciones, por las tardes comer barbacoa al lado de tus alumnos, y por la noche bailar con profesoras y estudiantes de otras regiones del país.

La interacción entre todos es de lo que más se nutre este evento. Muchos trabajos de investigación surgieron a partir de pláticas entre profesores de, por ejemplo, Morelia con estudiantes de Hidalgo; así como nacen amistades que traspasan la barrera espacio-tiempo en cuestión de cinco días de duración del coloquio. Sin olvidar que puedes llevarte una lanita si logras resolver uno de los problemas abiertos que se plantean en el evento y, ¿por qué no?, hasta volverte famoso por ello…

 
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